Question

（本小题满分12分）如图，四棱锥P－ABCD的底面是正方形，PA⊥底面ABCD，PA＝2，∠PDA=，点E、F分别为棱AB、PD的中点．

（1）求证：AF∥平面PCE；

（2）求证：平面PCE⊥平面PCD.

Answer 1

（1）见解析；（2）见解析.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）利用判定定理证明线面平行时，关键是在平面内找一条与已知直线平行的直线，解题时可先直观判断平面内是否已有，若没有，则需作出该直线，常考虑三角形的中位线、平行四边形的对边或过平行线分线段成比例等．（Ⅱ）证明面面垂直需转化证线面垂直;证明直线和平面垂直的常用方法（1）利用判定定理．（2）利用判定定理的推论（a∥b，a⊥αb⊥α）．（3）利用面面平行的性质（a⊥α，α∥βa⊥β）．（4）利用面面垂直的性质．

试题解析：（1）取PC的中点G，连结FG、EG

∴FG为△CDP的中位线 ∴FGCD

∵四边形ABCD为矩形，E为AB的中点

∴ABCD ∴FGAE ∴四边形AEGF是平行四边形 ∴AF∥EG

又EG平面PCE，AF平面PCE ∴AF∥平面. 4分

（2）∵ PA⊥底面ABCD

∴PA⊥AD，PA⊥CD，又AD⊥CD，PAAD=A

∴CD⊥平面ADP 又AF平面ADP ∴CD⊥AF 8分

直角三角形PAD中，∠PDA=45°

∴△PAD为等腰直角三角形 ∴PA＝AD=2

∵F是PD的中点 ∴AF⊥PD，又CDPD=D∴AF⊥平面PCD

∵AF∥EG ∴EG⊥平面PCD 又EG平面PCE

平面PCE⊥平面PCD 12分

考点：立体几何