题目内容
5．已知函数f（x）=x2+ax+b（a，b∈R）的图象与x轴相切，若直线y=c与y=c+5依次交f（x）的图象于A，B，C，D四点，且四边形ABCD的面积为25，则正实数c的值为（ ）| A． | 4 | B． | 6 | C． | 2 | D． | 8 |
分析 由函数f（x）=x2+ax+b（a，b∈R）的图象与x轴相切，可得：△=a2-4b=0，由四边形ABCD是一个以AB，CD为两底，高为5的梯形，S=25=$\frac{1}{2}$（AB+CD）×5，结合韦达定理，构造关于c的方程，解方程可得答案．
解答 解：如图示：
，
∵函数f（x）=x2+ax+b（a，b∈R）的图象与x轴相切，
∴△=a2-4b=0，
设函数f（x）=x2+ax+b的图象与直线y=c交于A，B两点，
即A，B两点的横坐标为方程：x2+ax+b-c=0的两根，
故AB=|x1-x2|=$\sqrt{{{（x}_{1}{+x}_{2}）}^{2}-{{4x}_{1}x}_{2}}$=$\sqrt{{a}^{2}-4b+4c}$=2$\sqrt{c}$，
设函数f（x）=x2+ax+b的图象与直线y=c+5交于C，D两点，
同时可得：CD=2 $\sqrt{c+5}$，
此时四边形ABCD是一个以AB，CD为两底，高为5的梯形，
S=25=$\frac{1}{2}$（AB+CD）×5=（$\sqrt{c}$+$\sqrt{c+5}$）×5，
即$\sqrt{c}$+$\sqrt{c+5}$=5，
解得：c=4，
故答案为：4．
点评 本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，二次方程根与系数的关系，其中由韦达定理及四边形ABCD是一个以AB，CD为两底，高为5的梯形，构造关于c的方程是解答的关键．
练习册系列答案
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19．
设（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）是变量x和y的n个样本点，直线l是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线（如图），则下列结论正确的是（ ）
设（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）是变量x和y的n个样本点，直线l是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线（如图），则下列结论正确的是（ ）| A． | x和y成正相关 | |
| B． | 若直线l方程为$\widehat{y}$=$\widehat{b}$x+$\widehat{a}$，则$\widehat{b}$＞0 | |
| C． | 最小二乘法是使尽量多的样本点落在直线上的方法 | |
| D． | 直线l过点$（\overline x，\overline y）$ |
14．
如图，∠C=$\frac{π}{2}$，AC=BC，M，N分别是BC、AB的中点，沿直线MN将△BMN折起使点B到达B′，且∠B′MB=$\frac{π}{3}$，则B′A与平面ABC所成角的正切值为（ ）
如图，∠C=$\frac{π}{2}$，AC=BC，M，N分别是BC、AB的中点，沿直线MN将△BMN折起使点B到达B′，且∠B′MB=$\frac{π}{3}$，则B′A与平面ABC所成角的正切值为（ ）| A． | $\frac{\sqrt{2}}{5}$ | B． | $\frac{\sqrt{3}}{5}$ | C． | $\frac{4}{5}$ | D． | $\frac{3}{5}$ |