Question

直三棱柱中，AB=AC=1，AA₁=2，∠B₁A₁C₁=90°，BD=DB₁
（1）求证：AD⊥平面A₁DC₁
（2）求异面直线C₁D，A₁C所成角的余弦．

Answer 1

解：（1）证明：在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，
AD在平面A₁B₁C₁的投影为A₁B₁，因为A₁B₁⊥A₁C₁，
所以AD⊥A₁C₁，
在矩形ABB₁A₁中，∠ADB=∠A₁DB₁=45°，
所以∠ADA₁=90°，所以AD⊥A₁D，
所以AD垂直平面A₁DC₁．
（2）以A₁C₁，A₁B₁，A₁A分别为x，y，z轴建立坐标系．
则A₁（0，0，0），C₁（1，0，0），C（1，0，2），D（0，1，1）
则=（-1，1，1），=（1，0，2），=1
||=，||=，
设异面直线C₁D，A₁C所成角为α，
cosα=|=．
分析：（1）由A₁B₁⊥A₁C₁，知AD⊥A₁C₁，由∠ADB=∠A₁DB₁=45°，知AD⊥A₁D，由此能够证明AD垂直平面A₁DC₁．
（2）以A₁C₁，A₁B₁，A₁A分别为x，y，z轴建立坐标系．则A₁（0，0，0），C₁（1，0，0），C（1，0，2），D（0，1，1），=（-1，1，1），=（1，0，2），=1．由向量法能够求出异面直线C₁D，A₁C所成角的余弦．
点评：本题考相直线和平面的垂直的证明和两条异面直线所成角的余弦值的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意向量法的合理运用．