Question

设函数f(x)＝xsinx(x∈R)．

(Ⅰ)证明f(x＋2kπ)－f(x)＝2kπsinx，其中为k为整数；

(Ⅱ)设x₀为f(x)的一个极值点，证明；

(Ⅲ)设f(x)在(0，＋∞)内的全部极值点按从小到大的顺序排列a₁，a₂，…，a_n，…，证明

Answer 1

答案：
解析：

(Ⅰ)证明：由函数f(x)的定义，对任意整数k，有 　　 　 　　(Ⅱ)证明：函数 　　① 　　 　　显然，对于满足上述方程的x有，上述方程化简为如图所示，此方程一定有解， 　　由 　　(Ⅲ)证明： 　　即在第二或第四象限内．由①式，在第二象限或第四象限中的符号可列表如下： 　　所以满足的正根x0都为的极值点． 　　由题设条件，的全部正实根且满足 　　 　　那么对于n＝1，2，…， 　　 　　② 　　由于 　　由于由②式知必在第二象限，即 　　综上，