Question

【题目】定义：如果函数f（x）在[a，b]上存在x1 ， x2（a＜x1＜x2＜b）满足 ， ，则称函数f（x）是[a，b]上的“双中值函数”．已知函数f（x）=x3﹣x2+a是[0，a]上的“双中值函数”，则实数a的取值范围是（　　）
A.（,）
B.（,3）
C.（ ， 1）
D.（ ， 1）

Answer 1

【答案】C
【解析】解：由题意可知，∵f（x）=x3﹣x2+a，f′（x）=3x2﹣2x
在区间[0，a]存在x1 ， x2（a＜x1＜x2＜b），
满足f′（x1）=f′（x2）==a2﹣a，
∵f（x）=x3﹣x2+a，
∴f′（x）=3x2﹣2x，
∴方程3x2﹣2x=a2﹣a在区间（0，a）有两个不相等的解．
令g（x）=3x2﹣2x﹣a2+a，（0＜x＜a）
则 ，
解得； ．
∴实数a的取值范围是（ ， 1）
故选：C
【考点精析】认真审题，首先需要了解导数的几何意义(通过图像,我们可以看出当点趋近于时，直线与曲线相切．容易知道，割线的斜率是，当点趋近于时，函数在处的导数就是切线PT的斜率k，即)．