Question

当m为参数时，集合A={(x,y)∣x²+y²+x－6y+m=0}是以(－,3)为圆心的同心圆系，问m取何值时，直线x+2y－3=0与圆系中的某一个圆交于P,Q两点，满足条件OP⊥OQ(O为坐标原点).

Answer 1

m=3

解析:

设P(x₁,y₁),Q(x₂,y₂),，则

由OP⊥OQ,得y₂=0

由消去y,得5x²+10x+4m－27=0    ①

∴x₁+x₂=－2, x₁x₂=      ②

而P,Q在直线x+2y－3=0上，则

y₁y₂=(3－x₁)(3－x₂)=[9－3(x₁+x₂)+x₁x₂]=     ③

将②,③代入x₁x₂+y₁y₂=0解得m=3，将其代入①检验，⊿>0成立，故m=3为所求。