Question

已知向量

a

，

b

满足|

a

|=

5

，

b

=(1，-3)，且(2

a

+

b

)⊥

b

（1）求向量

a

的坐标；  
（2）求向量

a

与

b

的夹角．

Answer 1

分析：（1）设

a

=(x，y)，由已知中向量

a

，

b

满足|

a

|=

5

，

b

=(1，-3)，且(2

a

+

b

)⊥

b

，根据向量模的计算公式和两向量垂直数量积为0，可以构造关于x，y的方程组，解方程求出向量

a

的坐标； 
（2）由（1）中向量

a

与

b

的坐标，代入向量夹角公式，可以求出向量

a

与

b

的夹角．

解答：解：（1）设

a

=(x，y)
因为 |

a

|=

5

则   

x2+y2

=

5

-------①
又∵已知

b

=(1，-3)，且(2

a

+

b

)⊥

b

2

a

+

b

=2(x，y)+(1，-3)=(2x+1，2y-3)
∴（2x+1，2y-3）•（1，-3）=2x+1+（2y-3）×（-3）=0-------②
由①②解得   

x=1 y=2

或

x=-2 y=1

∴

a

=(1，2)或

a

=(-2，1)
（2）设向量

a

与

b

的夹角θ
∵cosθ=

a • b

| a || b |

-
∴cosθ=

a • b

| a || b |

=

(1，2)•(1，-3)

1+22 1+(-3)2

=-

2

2

-
或cosθ=

a • b

| a || b |

=

(-2，1)•(1，-3)

1+22 1+(-3)2

=-

2

2

∵0≤θ≤π
∴向量

a

与

b

的夹角θ=

3π

4

点评：本题考查的知识点是数量积判断两个平面向量的垂直关系，数量积表示两个向量的夹角，熟练掌握向量模的计算公式，向量的数量积公式及向量夹角公式是解答本题的关键．