Question

【题目】四棱柱中，底面为正方形， 平面为棱的中点， 为棱的中点， 为棱的中点.

（1）证明：平面平面；

（2）若，棱上有一点，且，使得二面角的余弦值为，求的值.

Answer 1

【答案】(1)见解析;(2) .

【解析】试题分析： 四边形为平行四边形得，由中点得，

又， 得证 以为原点， 方向分别为轴、轴、轴正方向，建立如图所示的空间垂直坐标系，求平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，代入公式求出结果

解析：（1）分别为棱中点，

，

四边形为平行四边形，

，

又平面，

平面.

为棱的中点，

，

又，

，

平面，

平面.

又，

平面.

（2）由题意知两两垂直，以为原点， 方向分别为轴、轴、轴正方向，建立如图所示的空间垂直坐标系，

设，则，

设，则由，

得，

设平面的一个法向量为，则取，

则，

设平面的一个法向量为，则取，

则，

由题知，

解得或（与矛盾，舍去），

故.