题目内容

设数列{an}满足：a1=1，a2=
5
3
，an+2=
5
3
an+1-
2
3
an（n∈N*）．
（1）令bn=an+1-an（n∈N*），求数列{bn}的通项公式；
（2）求数列{nan}的前n项和Sn．
分析：（1）直接把an+2=
5
3
an+1-
2
3
an代入bn=an+1-an整理可得数列{bn}是公比为
2
3
的等比数列，求出首项即可求数列{bn}的通项公式；
（2）先借助于（1）的结论以及叠加法的应用求出数列{an}的通项公式；再利用错位相减法以及分组求和法求出数列{nan}的前n项和Sn．
解答：解：（1）因为bn+1=an+2-an+1=
5
3
an+1-
2
3
an-an+1=
2
3
（an+1-an）=
2
3
bn．
故数列{bn}是公比为
2
3
的等比数列，且b1=a2-a1=
2
3
．
故bn=(
2
3
)n   （n=1，2，3…）．
（2）由bn=an+1-an=(
2
3
)n．
得an+1-a1=（an+1-an）+（an-an-1）+…+（a2-a1）
=(
2
3
)n+(
2
3
)n-1+…+(
2
3
)2+
2
3
=2[1-(
2
3
)n]．
又因为a1=1．可得an+1=3-
2n+1
3n
，即an=3-
2n
3n-1
  （n=1，2，3…）
记数列{
n2n+1
3n
}的前n项和为Tn．则Tn=1+2×
2
3
+…+n(
2
3
)n-1，
2
3
Tn=
2
3
+2×(
2
3
)2+…+n•(
2
3
)n．
两式相减得：
1
3
Tn=1+
2
3
+(
2
3
)2+…+(
2
3
)n-1-n•(
2
3
)n=3[1-(
2
3
)n]-n•(
2
3
)n．
故Tn=9[1-(
2
3
)n]-3n•(
2
3
)n=9-
(3+n)2n+1
3n-1
．
所以sn=a1+2a2+…+nan
=3（1+2+3+…+n）-2Tn
=
3
2
n（n+1）+
(3+n)2n
3n-1
-18．
点评：本题主要考查数列递推式的应用以及数列求和的常用方法．本题第二问涉及到错位相减法求和，错位相减法适用于一等差数列和一等比数列相乘组成的新数列．
练习册系列答案
相关题目
设数列{an}满足a1=0，an+1=can3+1-c，n∈N*，其中c为实数
（1）证明：an∈[0，1]对任意n∈N*成立的充分必要条件是c∈[0，1]；
（2）设0＜c＜
1
3
，证明：an≥1-（3c）n-1，n∈N*；
（3）设0＜c＜
1
3
，证明：
a
2
1
+
a
2
2
+…
a
2
n
＞n+1-
2
1-3c
，n∈N*．
已知f(x)=
1
4x+m
(m＞0)，当x1、x2∈R且x1+x2=1时，总有f(x1)+f(x2)=
1
2
．
（1）求m的值；
（2）设数列an满足an=f(
0
n
)+f(
1
n
)+f(
2
n
)+…+f(
n
n
)，求an的通项公式．
设数列{an}满足a1=a，an+1=can+1-c，n∈N*其中a，c为实数，且c≠0
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式
（Ⅱ）设a=
1
2
，c=
1
2
，bn=n（1-an），n∈N*，求数列{bn}的前n项和Sn；
（Ⅲ）若0＜an＜1对任意n∈N*成立，求实数c的范围．（理科做，文科不做）
设数列{an}满足：a1=
5
6
，且an=
1
3
an-1+
1
3
（n∈N*，n≥2）
（1）求证：数列{an-
1
2
}为等比数列，并求数列{an}的通项an；
（2）求{an}的前n项和Sn．
设n∈N*，不等式组
x＞0
y＞0
y≤-nx+2n
所表示的平面区域为Dn，把Dn内的整点（横、纵坐标均为整数的点）按其到原点的距离从近到远排列成点列：（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）
（1）求（xn，yn）；
（2）设数列{an}满足a1=x1，an=
y
2
n
(
1
y
2
1
+
1
y
2
2
+…+
1
y
2
n-1
)，(n≥2)，求证：n≥2时，
an+1
(n+1
)
2
 
-
an
n
2
 
=
1
n
2
 
；
（3）在（2）的条件下，比较(1+
1
a1
)(1+
1
a2
)…(1+
1
an
)与4的大小．

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