Question

【题目】如图，在三棱锥中平面平面，.

（Ⅰ）证明：；

（Ⅱ）若点E为中点，，，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）证明见解析，（Ⅱ）

【解析】

（1）过B作于点D，则平面，可得，又，则平面，即可得证.

（2）以为坐标原点，过作垂直的直线为轴，为轴正向，为轴建立如图所以空间直角坐标系，分别求出平面、平面的法向量，利用空间向量法求出二面角的余弦值.

证明：（1）过B作于点D，

平面平面，且平面平面，

故平面.

又平面，

∴.

又，，平面，平面

所以平面.

∴

（2）由（1）有平面，故以为坐标原点，过作垂直的直线为轴，为轴正向，为轴建立如图所以空间直角坐标系

则，，，，

故，，

设平面的法向量则，

令有，故，

同理可得平面的法向量，

则，又平面与平面所成角为锐角，

所以平面与平面所成角的余弦值为