Question

已知斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁，∠BCA=90°，AC=BC=2，A₁在底面ABC上的射影恰为AC的中点D，又BA₁⊥AC₁，
（1）求证：AC₁⊥平面A1BC；
（2）求C₁到平面A₁AB的距离；
（3）求二面角A-A₁B-C的余弦值。

Answer 1

解：（1）∵A₁在底面ABC上的射影为AC的中点D，
∴平面A₁ACC₁⊥平面ABC，
∵BC⊥AC且平面A₁ACC₁∩平面ABC=AC，
∴BC⊥平面A₁ACC₁，
∴BC⊥AC₁，
∵AC₁⊥BA₁且BC∩BA₁=B，
∴AC₁⊥平面A₁BC。
（2）如图所示，以C为坐标原点建立空间直角坐标系，
∵AC₁⊥平面A1BC，
∴AC₁⊥A₁C，
∴四边形A₁ACC₁是菱形，
∵D是AC的中点，
∴∠A₁AD=60°，
∴A（2，0，0），A₁（1，0，），B（0，2，0）， C₁（-1，0，），
∴=（1，0，），=（-2，2，0），
设平面A₁AB的法向量=（x，y，z），
∴，
令z=1，
∴=（，，1），
∵=（2，0，0），
∴，
∴C₁到平面A₁AB的距离是。
（3）平面A₁AB的法向量=（，，1），平面A₁BC的法向量=（-3，0，），
∴，
设二面角A-A₁B-C的平面角为θ，θ为锐角，
∴，
∴二面角A-A₁B-C的余弦值为。