Question

如右下图,在长方体ABCD—A₁B₁C₁D₁中,已知AB= 4, AD =3, AA₁= 2。 E、F分别是线段AB、BC上的点，且EB= FB=1.

(1) 求二面角C—DE—C₁的余弦值;

(2) 求直线EC₁与FD₁所成的余弦值.

 

 

 

Answer 1

【答案】

解：（I）（法一）矩形ABCD中过C作CHDE于H，连结C₁H

CC₁面ABCD，CH为C₁H在面ABCD上的射影

C₁HDE   C₁HC为二面角C—DE—C₁的平面角

矩形ABCD中得EDC=，DCH中得CH=，

又CC₁=2，

C₁HC中，，

C₁HC

二面角C—DE—C₁的余弦值为             7分

（2）以D为原点，分别为x轴，y轴,z轴的正向建立空间直角坐标系，则有A(3,0,0)、D₁(0,0,2)、B（3，4，0），E(3,3,0)、F(2，4,0)、C₁(0,4,2)

设EC₁与FD₁所成角为β，则

   

故EC₁与FD₁所成角的余弦值为          14分

（法二）（1）以D为原点，分别为x轴，y轴,z轴的正向建立空间直角坐标系，则有A(3,0,0)、D₁(0,0,2)、B（3，4，0），E(3,3,0)、F(2，4,0)、C₁(0,4,2)

于是，，，

设向量与平面C₁DE垂直，则有

，

令，则         

又面CDE的法向量为

                     7分

由图，二面角C—DE—C₁为锐角，故二面角C—DE—C₁的余弦值为    8分

（II）设EC₁与FD₁所成角为β，则

 

故EC₁与FD₁所成角的余弦值为                               14分

 

【解析】略