Question

已知f(x)=sin2ωx+

3

cosωxcos(

π

2

-ωx)(ω＞0)，且函数y=f（x）的图象相邻两条对称轴之间的距离为

π

2

．
（1）求ω的值及f（x）的单调递减区间；
（2）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若a=1，b=

3

，f（A）=1求角C．

Answer 1

分析：（1）由f(x)=sin2ωx+

3

cosωxcos(

π

2

-ωx)(ω＞0)，利用三角函数恒等式求出f（x）=sin（2ωx-

π

6

）+

1

2

，再由函数y=f（x）的图象相邻两条对称轴之间的距离为

π

2

，能求出ω和f（x）的单调递减区间．
（2）由f（x）=sin（2x-

π

6

）+

1

2

，在△ABC中，a=1，b=

3

，知f（A）=sin（2A-

π

6

）+

1

2

=1，由此能求出角C．

解答：解：（1）∵f(x)=sin2ωx+

3

cosωxcos(

π

2

-ωx)(ω＞0)
=

1-cos2ωx

2

+

3

2

sin2ωx
=sin（2ωx-

π

6

）+

1

2

，
且函数y=f（x）的图象相邻两条对称轴之间的距离为

π

2

，
∴

2π

2ω

=π，ω=1，
∴f（x）=sin（2x-

π

6

）+

1

2

，
∴f（x）的单调递减区间满足

π

2

+2kπ≤2x-

π

6

≤

3π

2

+2kπ，k∈Z．
解得kπ+

π

3

≤x≤kπ+

5

6

π，k∈Z，
∴f（x）的单调递减区间[kπ+

π

3

，kπ+

5π

6

]，k∈Z．…（6分）
（2）∵f（x）=sin（2x-

π

6

）+

1

2

，在△ABC中，a=1，b=

3

，
f（A）=sin（2A-

π

6

）+

1

2

=1，
∴2A-

π

6

=

π

6

，解得A=

π

6

，
∴sinB=

bsinA

a

=

3

2

，
∴B=

π

3

或

2π

3

，
∴C=

π

2

或

π

6

．（12分）

点评：本题考查三角函数的减区间的求法，考查三角函数中角的大小的求法．解题时要认真审题，仔细解答，注意三角函数恒等式的合理运用．