Question

（09年济宁质检一理）（12分）

已知函数.

（Ⅰ）当时，使不等式，求实数的取值范围；

（Ⅱ）若在区间上，函数的图象恒在直线的下方，求实数的取值范围.

Answer 1

解析：（Ⅰ）当时，

由，得函数在区间为增函数，

则当时。

故要使使不等式成立，只需即可。

（Ⅱ）在区间上，函数的图象恒在直线的下方等价于

对，，即恒成立。

设，

则.

当时，.

（1）若，即，，函数在区间为减函数，

则当时，

只需，即当时恒成立.

（2）若，即时，令得

函数在区间为减函数，为增函数，

则，不合题意.

（3）若，即当时，函数在区间为增函数，

则，不合题意.

综上可知当时恒成立，

即当时，在区间上函数的图象恒在直线的下方。

另解：对，恒成立，

即对，恒成立.

设函数，

（1）如图1，当时，即，函数为开口向下的二次函数，

则当时，函数的图象在的图象上方是不可能的；

（2）如图2，当时，即，对于的函数的图象恒在的图象上方；

（3）如图3，当时，即，函数为过坐标原点且开口向上的二次函数，要使的函数的图象恒在的图象上方，只需函数的图象与轴的交点不在的右边，即，则，且，即.

综上可知当时，对的函数的图象恒在的图象上方，即当时函数的图象恒在直线的下方。