Question

12．求下列函数的最大值和最小值：
（1）y=2x²-6x+1，x∈[-1，1]；
（2）y=2x+$\frac{1}{x-1}$，（x＞1）；
（3）y=2x+$\sqrt{1-x}$．

Answer 1

分析 （1）由二次函数的对称轴和区间的关系，运用单调性可得最值；
（2）由基本不等式可得最小值；
（3）运用换元法，再由二次函数的最值求法，可得所求最值．

解答 解：（1）y=2x²-6x+1
=2（x-$\frac{3}{2}$）²-$\frac{7}{2}$，对称轴为x=$\frac{3}{2}$，
f（x）在[-1，1]上递减，
即有f（-1）最大，且为9；
f（1）最小，且为-3；
（2）y=2x+$\frac{1}{x-1}$=2（x-1）+$\frac{1}{x-1}$+2
≥2$\sqrt{2（x-1）•\frac{1}{x-1}}$+2=2+2$\sqrt{2}$，
即有x=1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$时，取得最小值2+2$\sqrt{2}$，
无最大值；
（3）设t=$\sqrt{1-x}$（t≥0），
则x=1-t²，
即有y=2-2t²+t=-2（t-$\frac{1}{4}$）²+$\frac{17}{8}$，
t=$\frac{1}{4}$时，y取得最大值，且为$\frac{17}{8}$，
无最小值．

点评 本题考查函数的最值的求法，注意运用二次函数的最值求法和基本不等式的运用，属于中档题．