Question

已知数列{a_n}的首项a1=

3

5

，an+1=

3an

2an+1

，n=1，2，…．
（Ⅰ）设bn=

1

an

-1，求证：{b_n}是等比数列，并求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）证明：对任意实数x，都有an≥2x-x2-

2x2

3n

，n=1，2，…成立．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据数列递推式an+1=

3an

2an+1

，取倒数，化简可得{b_n}是以

2

3

为首项，

1

3

为公比的等比数列，从而可得{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）由（Ⅰ），利用作差与0比较，即可证得结论．

解答：证明：（Ⅰ）∵an+1=

3an

2an+1

，
∴

1

an+1

=

2

3

+

1

3an

，
∴

1

an+1

-1=

1

3

(

1

an

-1)，即bn+1=

1

3

bn…（2分）
又b1=

1

a1

-1=

2

3

，∴{b_n}是以

2

3

为首项，

1

3

为公比的等比数列…（4分）
∴

1

an

-1=

2

3

•

1

3n-1

=

2

3n

，
∴an=

3n

3n+2

…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知an=

3n

3n+2

＞0，

1

an

=1+

2

3n

，
∵2x-

2x2

3n

-x2-an=2x-x2(

2

3n

+1)-an=2x-

x2

an

-an=-(

an

-

x

an

)2≤0
∴原不等式成立．…（12分）

点评：本题考查数列递推式，考查等比数列的证明，考查数列的通项，考查不等式的证明，确定数列的通项是关键．