Question

6．设函数y=f（x+2）是R上偶函数，且?x₁，x₂≥2，x₁≠x₂，$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＞0，若f（2m+3）＞f（4-m），则实数m范围为m＞$\frac{1}{3}$或m＜-3．

Answer 1

分析 根据f（x+2）为偶函数得到函数关于x=2对称，?x₁，x₂≥2，x₁≠x₂，$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＞0，f（x）在[2，+∞）上单调递增，进而2m+3＞4-m≥2或2m+3＜4-m＜2，或2-2m-3＞4-m-2，即可求出实数m范围．

解答 解：∵f（x+2）为偶函数，∴f（-x+2）=f（x+2），
即函数f（x）关于x=2对称，
∵?x₁，x₂≥2，x₁≠x₂，$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＞0，
∴f（x）在[2，+∞）上单调递增，
∵f（2m+3）＞f（4-m），
∴2m+3＞4-m≥2或2m+3＜4-m＜2，或2-2m-3＞4-m-2
∴m＞$\frac{1}{3}$或m＜-3．
故答案为：m＞$\frac{1}{3}$或m＜-3．

点评 本题主要考查函数的单调性和奇偶性的综合运用，根据条件得到函数f（x）的对称性是解决本题的关键．