Question

某公司用480万元购得某种产品的生产技术后，再次投入资金1520万元购买生产设备，进行该产品的生产加工．已知生产这种产品每件还需成本费40元，经过市场调研发现：该产品的销售单价定在100元到300元之间较为合理．当销售单价定为100元时，年销售量为20万件；当销售单价超过100元，但不超过200元时，每件产品的销售价格每增加10元，年销售量将减少0.8万件；当销售单价超过200元，但不超过300元时，每件产品的销售价格在200元的基础上，每增加10元，年销售量将再减少1万件．设销售单价为x（元），年销售量为y（万件），年获利为w（万元）。
（1）直接写出y与x之间的函数关系式；
（2）求第一年的年获利w与x之间的函数关系式，并说明投资的第一年，该公司是赢利还是亏损？若赢利，最大利润是多少？若亏损，最少亏损是多少？（=1521）

Answer 1

解：（1）根据当销售单价定为100元时，年销售量为20万件；当销售单价超过100元，但不超过200元时，每件产品的销售价格每增加10元，年销售量将减少0.8万件，
可知100≦x≦200时，年销售量为y=；
销售价格在200元时，年销售量为12万件，根据当销售单价超过200元，但不超过300元时，每件产品的销售价格在200元的基础上，每增加10元，年销售量将再减少1万件，可知200≦x≦300时，年销售量为y=．
∴y=
（2）当100≦x≦200时，w=xy﹣40y﹣（480+1520）
将y=﹣x+28代入上式得：w=x（﹣x+28）﹣40（﹣x+28）﹣2000=﹣（x﹣195）²﹣78，
当200＜x≦300时，同理可得：w=﹣（x﹣180）²﹣40，
故w=；若100≦x≦200，当x=195时，w_max=﹣78，若200＜x≦300，w_max=﹣80．故投资的第一年公司是亏损的，最少亏损为78万元．