题目内容
函数f（x）=x-3sinx2在[0，+∞）上的零点个数是（ ）
分析：对f（x）求导数，得f'（x）=1-6xcosx2．通过特殊值代入，结合函数图象观察可得f（x）在（0，π）上共有5个单调区间．再用零点存在性质定理加以验证，可得函数f（x）在（0，π）上有4个零点，而在（π，+∞）上没有零点．结合f（0）=0可得f（x）在[0，+∞）上总共5个零点．
解答：解：∵函数解析式为f（x）=x-3sinx2，
∴f'（x）=1-3（cosx2）•2x=1-6xcosx2．
可得f'（0）=1＞0，f'（
）=1-
＜0，f'（
）=1＞0，
f'（
）=1-6
＜0，f'（
）=1+6
＞0，
因此，f'（x）在区间（0，
），（
，
），（
，
），（
，
）上分别有一个零点
将这些零点分别设为x1、x2、x3、x4，
可得函数f（x）=x-3sinx2在区间（0，x1），（x2，x3），（x4，π）上
是增函数；在区间（x1，x2），（x3，x4）上是减函数．
即f（x）在（0，π）上共有5个单调区间
∵f（0.1）＞0，f（
）=
-3＜0，f（
）=
＞0，
f（
）=
-3＜0，f（
）=
＞0
∴f（x）在（0.1，
）、（
，
）、（
，
）、（
，
）上各有一个零点
而f（0）=0，且x＞π时f（x）=x-3sinx2＞π-3＞0
∴f（x）在[0，π]上有5个零点，而在（π，+∞）上没有零点．因此函数f（x）在[0，+∞）上总共5个零点．
故选：C
∴f'（x）=1-3（cosx2）•2x=1-6xcosx2．
可得f'（0）=1＞0，f'（
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| 3 |
| 2 |
| 2π |
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f'（
| 2π |
| 2π |
| 3π |
| 3π |
因此，f'（x）在区间（0，
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| 2π |
| 2π |
| 3π |
将这些零点分别设为x1、x2、x3、x4，
可得函数f（x）=x-3sinx2在区间（0，x1），（x2，x3），（x4，π）上
是增函数；在区间（x1，x2），（x3，x4）上是减函数．
即f（x）在（0，π）上共有5个单调区间
∵f（0.1）＞0，f（
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| 2π |
| 2π |
f（
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| 3π |
| 3π |
∴f（x）在（0.1，
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| 2π |
| 2π |
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| 3π |
而f（0）=0，且x＞π时f（x）=x-3sinx2＞π-3＞0
∴f（x）在[0，π]上有5个零点，而在（π，+∞）上没有零点．因此函数f（x）在[0，+∞）上总共5个零点．
故选：C
点评：本题给出函数f（x）=x-3sinx2，求它在[0，+∞）上的零点个数．着重考查了利用导数研究函数的单调性和零点存在性定理等知识，属于中档题．
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已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R，A＞0，ω＞0，|φ|＜| π |
| 2 |
A、f(x)=2sin(πx+
| ||
B、f(x)=2sin(2πx+
| ||
C、f(x)=2sin(πx+
| ||
D、f(x)=2sin(2πx+
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