Question

（2013•乌鲁木齐一模）已知数列{a_n}、{b_n}分别是首项均为2的各项均为正数的等比数列和等差数列，且b₂=4a₂，a₂b₃=6
（I）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（II ）求使a_bn＜0.001成立的最小的n值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用等差数列、等比数列的通项公式即可得出；
（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论及指数函数的单调性、不等式的解法即可得出．

解答：解：（Ⅰ）设{a_n}的公比为q＞0，{b_n}的公差为d＞0，
∵b₂=4a₂，a₂b₃=6，
∴

2+d=4×2q (2+2d)×2q=6

，
解得

d=2 q= 1 2

．
∴an=2×(

1

2

)n-1=(

1

2

)n-2，b_n=2+（n-1）×2=2n．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得abn=a2n=(

1

2

)2n-2，
∵abn＜0.001，∴(

1

2

)2n-2＜0.001，∴2^2n-2＞1000，
∴2n-2≥10，即n≥6，
∴最小的n值为6．

点评：熟练掌握等差数列、等比数列的通项公式、指数函数的单调性、不等式的解法是解题的关键．