Question

已知函数f(x)=ax3-

3

2

x2+1(x∈R)，其中a＞0．
（1）若a=1，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；
（2）求函数的极大值和极小值，若函数f（x）有三个零点，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=x³-

3

2

x²+1，得f（2）=3，且f′（x）=3x²-3x，f′（2）=6．由此能求出曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程．
（Ⅱ）f′（x）=3ax²-3x=3x（ax-1），令f（x）=0，解得x=0或x=

1

a

．列表讨论，能够求出函数f（x）的极大值和极小值，并且极小值小于0，极大值大于0，求解即可得到函数f（x）有三个零点时a的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=x³-

3

2

x²+1，得f（2）=3，
且f′（x）=3x²-3x，f′（2）=6．
所以，曲线f（x）在点（2，f（2））处的切线方程是y-3=6（x-2），
整理得6x-y-9=0；
（Ⅱ）函数f(x)=ax3-

3

2

x2+1(x∈R)，
f′（x）=3ax²-3x=3x（ax-1）
令f′（x）=0，解得x=0或x=

1

a

．
由于a＞0，故0＜

1

a

，
当x变化时，f′（x），f（x）的变化如下表：

x	（-∞，0）	0	（0， 1 a ）	1 a	（ 1 a ，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	递增	极大值	递减	极小值	递增

因此，函数f（x）在x=0处取得极大值f（0），且f（0）=1，
函数f（x）在x=

1

a

处取得极小值f（

1

a

），且f（

1

a

）=1-

1

2a2

．
若函数f（x）有三个零点，
只需f（

1

a

）=1-

1

2a2

＜0即可，即得a2＜

1

2

．
又a＞0，因此0＜a＜

2

2

故所求a的取值范围为{a|0＜a＜

2

2

}．

点评：考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，会利用导数研究函数的单调性以及根据函数的增减性得到函数的极值．灵活运用分类讨论的数学思想解决数学问题．本题考查利用导数研究函数的极值，导数的引入，为研究高次函数的极值与最值带来了方便．