题目内容
已知半椭圆
与半椭圆
组成的曲线称为“果圆”，其中a2=b2+
c2，a＞0，b＞c＞0。如图，设点F0，F1，F2是相应椭圆的焦点，A1，A2和B1，B2是“果圆”与x，y轴的交点，
（1）若三角形F0F1F2是边长为1的等边三角形，求“果圆”的方程；
（2）若|A1A|＞|B1B|，求
的取值范围；
（3）一条直线与果圆交于两点，两点的连线段称为果圆的弦。是否存在实数k，使得斜率为k的直线交果圆于两点，得到的弦的中点的轨迹方程落在某个椭圆上？若存在，求出所有k的值；若不存在，说明理由。
与半椭圆组成的曲线称为“果圆”，其中a2=b2+c2，a＞0，b＞c＞0。如图，设点F0，F1，F2是相应椭圆的焦点，A1，A2和B1，B2是“果圆”与x，y轴的交点，
（1）若三角形F0F1F2是边长为1的等边三角形，求“果圆”的方程；
（2）若|A1A|＞|B1B|，求
的取值范围；（3）一条直线与果圆交于两点，两点的连线段称为果圆的弦。是否存在实数k，使得斜率为k的直线交果圆于两点，得到的弦的中点的轨迹方程落在某个椭圆上？若存在，求出所有k的值；若不存在，说明理由。
解：（1）∵
，
∴
，
于是
，
所求“果圆”方程为
。
（2）由题意，得a+c＞2b，即
，
，
∴
，得
，
又
，
∴
，
（3）设“果圆”的方程为
，
记平行弦的斜率为k，
当k=0时，直线
与半椭圆
的交点是
，
与半椭圆
的交点是
，
∴P，Q的中点M（x，y）满足
，得
，
∵a＜2b，
∴
，
综上所述，当k=0时，“果圆”平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上；
当k＞0时，以k为斜率过B1的直线l与半椭圆
的交点是
，
由此，在直线l右侧，以k为斜率的平行弦的中点轨迹在直线
上，即不在某一椭圆上；
当k＜0时，可类似讨论得到平行弦中点轨迹不都在某一椭圆上。
，∴
，于是
，所求“果圆”方程为
。（2）由题意，得a+c＞2b，即
，，∴
，得， 又
，∴
，（3）设“果圆”的方程为
， 记平行弦的斜率为k，
当k=0时，直线
与半椭圆的交点是，与半椭圆
的交点是， ∴P，Q的中点M（x，y）满足
，得，∵a＜2b，
∴
，综上所述，当k=0时，“果圆”平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上；
当k＞0时，以k为斜率过B1的直线l与半椭圆
的交点是，由此，在直线l右侧，以k为斜率的平行弦的中点轨迹在直线
上，即不在某一椭圆上；当k＜0时，可类似讨论得到平行弦中点轨迹不都在某一椭圆上。
练习册系列答案
相关题目
是由正数组成的等差数列，
是其前
项的和，并且
，
.
对一切
均成立最大实数
；
，在
与
之间插入
个
，得到新数列
，设
是数列
，使
？若存在求出
,则以四个氢原子为顶点的这个正四面体的体积为（ ）
B．
C．
D．
,则以四个氢原子为顶点的这个正四面体的体积为（ ）
B．
C．
D．
是由正数组成的等差数列，
是其前
项的和，并且
，
.
对一切
均成立最大实数
；
，在
与
之间插入
个
，得到新数列
，设
是数列
，使
？若存在求出
是由正数组成的等差数列，
是其前
项的和，并且
，
.
对一切
均成立最大实数
；
，在
与
之间插入
个
，得到新数列
，设
是数列
，使
？若存在求出