题目内容
已知:数列是由正数组成的等差数列,是其前项的和,并且,.
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)求不等式对一切均成立最大实数;
(Ⅲ)对每一个,在与之间插入个,得到新数列,设是数列的前项和,试问是否存在正整数,使?若存在求出的值;若不存在,请说明理由.
2008
解析:
(Ⅰ)设的公差为,由题意,且, 2分
,数列的通项公式为 。 3分
(Ⅱ)由题意对均成立, 4分
记
则。
,随增大而增大, 6分
的最小值为,
,即的最大值为。 8分
(Ⅲ),
在数列中,及其前面所有项之和为
, 10分
,即, 12分
又在数列中的项数为: , 13分
且,
所以存在正整数使得。 14分
(第(Ⅱ)用数学归纳法证明:∵n∈N,
∴只需证明成立。
(i)当n=1时,左=2,右=2,∴不等式成立。
(ii)假设当n=k时不等式成立,即
。
那么当n=k+1时,
,
以下只需证明。
即只需证明。∵。
∴。
综合(i)(ii)知,不等式对于n∈N都成立。
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