题目内容

已知:数列是由正数组成的等差数列,是其前项的和,并且.

(Ⅰ)求数列的通项公式;

(Ⅱ)求不等式对一切均成立最大实数

(Ⅲ)对每一个,在之间插入,得到新数列,设是数列的前项和,试问是否存在正整数,使?若存在求出的值;若不存在,请说明理由.

2008


解析:

(Ⅰ)设的公差为,由题意,且,      2分

,数列的通项公式为   。                     3分

(Ⅱ)由题意均成立,     4分

增大而增大,        6分

的最小值为

,即的最大值为。      8分

(Ⅲ)

在数列中,及其前面所有项之和为

,             10分

,即, 12分

在数列中的项数为: ,                 13分

所以存在正整数使得。      14分

(第(Ⅱ)用数学归纳法证明:∵n∈N,

∴只需证明成立。

(i)当n=1时,左=2,右=2,∴不等式成立。

(ii)假设当n=k时不等式成立,即

那么当n=k+1时,

以下只需证明

即只需证明。∵

综合(i)(ii)知,不等式对于n∈N都成立。

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