Question

如图，三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，AA₁⊥面ABC，BC⊥AC，BC=AC=2，AA₁=3，D为AC的中点.

   （1）求证：AB₁//面BDC₁；

　 （2）求二面角C₁—BD—C的余弦值；  

（3）在侧棱AA??₁上是否存在点P，使得CP⊥面BDC₁？并证明你的结论.

Answer 1

（1）见解析

       （2）

       (3)见解析

解析:

（1）连接B₁C，交BC₁于点O，则O为B₁C的中点，

        ∵D为AC中点    ∴OD∥B₁A

        又B₁A平面BDC₁，OD平面BDC₁

         ∴B₁A∥平面BDC₁

  （2）∵AA₁⊥面ABC，BC⊥AC，AA₁∥CC₁

       ∴CC₁⊥面ABC

      则BC⊥平面AC₁，CC₁⊥AC

      如图建系 则C₁(3,0,0) B(0,0,2) D(0,1,0) C(0,0,0)

      ∴

      设平面C₁DB的法向量为

      则

      又平面BDC的法向量为

      ∴二面角C₁—BD—C的余弦值：cos

（Ⅲ）设P(h,2,0)   则

若CP⊥面BDC₁   则   即（h,2,0）=λ(2,-6,3)

此时λ不存在