Question

A、B两位同学各有五张卡片，现以投掷均匀硬币的形式进行游戏，当出现正面朝上时A赢得B一张卡片，否则B赢得A一张卡片．规定掷硬币的次数达9次时，或在此前某人已赢得所有卡片时游戏终止．设ξ表示游戏终止时掷硬币的次数．
（1）求ξ的取值范围；
（2）求ξ的数学期望Eξ．

Answer 1

分析：（1）设出硬币正面出现的次数和出现反面的次数，根据题意列出不等式组，讨论m，n取值不同时，得到的对应的ξ的值，结果ξ的可能取值是5，7，9
（2）ξ表示游戏终止时掷硬币的次数，由第一问知ξ的所有可能取值为：5，7，9．根据独立重复试验的概率公式得到变量对应的概率，做出ξ的数学期望．

解答：解：（1）设正面出现的次数为m，反面出现的次数为n，
则

|m-n|=5 m+n=ξ 1≤ξ≤9

，
可得：当m=1，n=0或m=0，n=5时，ξ=5；
当m=6，n=1或m=1，n=6时，ξ=7；
当m=7，n=2或m=2，n=7时，ξ=9；
∴ξ的所有可能取值为：5，7，9．
（2）ξ表示游戏终止时掷硬币的次数，由题意知ξ的所有可能取值为：5，7，9．
根据独立重复试验的概率公式得到
P（ξ=5）=2×(

1

2

)5=

2

32

=

1

16

；
P（ξ=7）=2

C

1 5

(

1

2

)7=

5

64

；
P（ξ=9）=1-

1

16

-

5

64

=

55

64

；
∴Eξ=5×

1

16

+7×

5

64

+9×

55

64

=

275

32

．

点评：本题考查离散型随机变量的期望，考查独立重复试验的概率公式，考查分类讨论思想，考查利用概率知识解决实际问题的能力，这种题目是近几年高考题目中经常出现的题型．