Question

如图，在增四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=1，BB₁=

3

+1，E为BB₁上使B₁E=1的点．平面AEC₁交DD₁于F，交A₁D₁的延长线于G，求异面直线AD与C₁G所成角的大小．

Answer 1

分析：本题适合建立空间坐标系得用向量法解决这个立体几何问题，建立空间坐标系，给出有关点的坐标，求出异面直线AE与A₁F的方向向量，利用利用夹角公式求异面直线AE与A₁F所成角的余弦值即可．

解答：解：以A₁为原点，A₁B₁，A₁D₁，A₁A所在直线分别为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
于是，A(0，0，

3

+1)，C1(1，1，0)，D(0，1，

3

+1)，E(1，0，1)，

AD

=(0，1，0)，

EC1

=(0，1，-1)．
因为EC₁和AF是平行平面BB₁C₁C和AA₁D₁D与平面AEC₁G的交线，
所以EC₁∥AF．设G（0，y，0），
则

AG

=(0，y，-1-

3

)．由

EC1

∥

AG

?

1

y

=

-1

-1- 3

，
于是y=

3

+1．
故G(0，1+

3

，0)，

C1G

=(-1，

3

，0)．
设异面直线AD与C₁G所成的角的大小为θ，
则：cosθ=

AD • C1G

| AD |•| C1G |

=

3

2

，从而θ=

π

6

．

点评：考查用空间向量为工具解决立体几何问题，此类题关键是找清楚线的方向向量，本小题主要考查异面直线所成的角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．