题目内容

在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A（2，1），B（-1，1），若点P满足 $数学公式$ ，其中α，β∈R且2α²+β²= $数学公式$ ．
1）求点P的轨迹C的方程.2）设D（0，2），过D的直线L与曲线C交于不同的两点M、N，且M点在D，N之间，设 $数学公式$ ，求λ的取值范围．

解：1）设P（x，y），由条件 $\text{[math]}$ ，得 $\text{[math]}$ ，代入2α²+β²= $\text{[math]}$ ．
可得 $\text{[math]}$ ，此即为点P的轨迹C的方程
2）当直线l斜率存在时，设l：y=kx+2，代入椭圆方程得：
（1+2k²）x²+8kx+6=0
因为直线L与曲线C交于不同的两点M、N，
所以△＞0，解得 $\text{[math]}$
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
由维达定理可得x₁+x₂= $\text{[math]}$ ，x₁x₂= $\text{[math]}$
由 $\text{[math]}$ 可得x₁=λx₂代入上式可得
$\text{[math]}$
因为 $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$ ，解得 $\text{[math]}$ 且λ≠1
当直线l斜率不存在时， $\text{[math]}$
又因为M点在D，N之间，所以0＜λ＜1
所以λ的取值范围是 $\text{[math]}$
分析：1）设P（x，y），由条件 $\text{[math]}$ ，x、y可由α和β表达，反解出α和β代入2α²+β²= $\text{[math]}$ ．可得x和y的关系式，此即为点P的轨迹C的方程
2）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由 $\text{[math]}$ 可得x₁=λx₂，
设出直线l的方程，与椭圆联立、消元、维达定理，
点评：本题考查相关点法求轨迹方程、直线与椭圆的位置关系问题、求参数的范围问题．考查运算能力和逻辑推理能力．
注意向量在题目条件中的作用，提供点的坐标的关系．