Question

已知{a_n}是递增的等差数列，满足a₂•a₄=3，a₁+a₅=4．
（1） 求数列{a_n}的通项公式和前n项和公式；
（2） 设数列{b_n}对n∈N^*均有

b1

3

+

b2

32

+…+

bn

3n

=an+1成立，求数列{b_n}的通项公式．

Answer 1

分析：（1）先由a₂•a₄=3，a₁+a₅=4．求出a₂和a₄进而求得公差以及其通项公式，再代入等差数列的求和公式即可求前n项和公式；
（2）先由

b1

3

+

b2

32

++

bn

3n

=an+1，得n≥2时

b1

3

+

b2

32

++

bn-1

3n-1

=an，作差可得b_n的通项（n≥2），再检验b₁即可求数列{b_n}的通项公式．

解答：解：（1）∵a₁+a₅=a₂+a₄=4，再由a₂•a₄=3，
可解得a₂=1，a₄=3或a₂=3，a₄=1（舍去）
∵d=

a4-a2

4-2

=1，
∴a_n=1+1•（n-2）=n-1，
Sn=

n

2

(a2+an-1)=

n(n-1)

2

（2）由

b1

3

+

b2

32

++

bn

3n

=an+1，
当n≥2时

b1

3

+

b2

32

++

bn-1

3n-1

=an，
两式相减得

bn

3n

=an+1-an=1，(n≥2)
∴b_n=3ⁿ（n≥2）①
当n=1时，

b1

3

=a2，
∵a₂=1，∴b₁=3，适合①
∴b_n=3ⁿ．

点评：本题的第二问主要考查了已知前n项和为S_n求数列{a_n}的通项公式．根据a_n和S_n的关系：a_n=S_n-S_n-1 （n≥2）求解数列的通项公式．另外，须注意公式成立的前提是n≥2，所以要验证n=1时通项是否成立，若成立则：a_n=S_n-S_n-1 （n≥1）；若不成立，则通项公式为分段函数．