Question

10．函数f（x）=$\frac{2x}{1+{x}^{2}}$，关于x的方程（f（x））²+af（x）+b=0（a，b∈R）有如下几个判断：
（1）存在实数a，b，使此方程无实数解；
（2）存在实数a，b，使此方程有2个不同的实数解；
（3）存在实数a，b，使此方程有4个不同的实数解；
（4）存在实数a，b，使此方程有6个不同的实数解；
其中正确的判断个数为（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 作函数f（x）=$\frac{2x}{1+{x}^{2}}$的图象，先判断方程x²+ax+b=0的解的个数，再利用数形结合判断f（x）=$\frac{2x}{1+{x}^{2}}$=m的解的个数，从而解得．

解答 解：作函数f（x）=$\frac{2x}{1+{x}^{2}}$的图象如下，
，
①当△＜0时，方程x²+ax+b=0无解，
故方程（f（x））²+af（x）+b=0无解，故（1）正确；
②当方程x²+ax+b=0的解为-1或1，即a=0，b=-1时，
（f（x））²+af（x）+b=0可化为f（x）=-1或f（x）=1，
故方程有两个不同的根，故（2）正确；
③当方程x²+ax+b=0的解在（-1，0），（0，1）之间，
不妨取x=±$\frac{1}{2}$，即a=0，b=-$\frac{1}{4}$时，
（f（x））²+af（x）+b=0可化为f（x）=-$\frac{1}{2}$或f（x）=$\frac{1}{2}$，
故方程有四个不同的解；故（3）正确；
④方程x²+ax+b=0至多有两个解，
f（x）=$\frac{2x}{1+{x}^{2}}$=m至多有两个解，
故方程至多有四个不同的解，故（4）不正确．
故选：C．

点评 本题考查了方程的根与函数的图象的关系应用及数形结合的思想应用．