Question

【题目】已知函数，

(I)讨论函数的单调性；

(II)对于任意，有，求实数的范围

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）

【解析】试题分析：（1）先求导数，并求导函数零点，根据零点大小以及是否在定义域内进行分类讨论单调性（2）先调整不等式为，再构造函数，转化为证明函数单调递增，即导函数恒非负，利用参变分离法转化为对应函数最值问题，解得实数的范围

试题解析：（1）==

，

当时， 在（0， 上单调递增，在（1，a-1）上单调递减；在（上递增；

当时， 在（0， 上单调递增；

当 在（0，a-1）上单调递增，在（a-1，1）上单调递减；在（上单调递增；

当时， 在（0,1）上单调递减，在（上单调递增。

综上所述： 的单调性为

当时， 在（0， 上单调递增，在（1，a-1）上单调递减；在（上递增；

当时， 在（0， 上单调递增；

当 在（0，a-1）上单调递增，在（a-1，1）上单调递减；在（上单调递增；

当时， 在（0,1）上单调递减，在（上单调递增。

（Ⅲ） ，

令

对于任意，有恒成立等价于函数在（0， 上是增函数。

=，令

当时，要使在（0， 恒成立，因为。故只需 ， 即，即，无解

当时，要使在（0， 恒成立，因为，只需

即+ ，化简得。

解得

综上所述：实数a的取值范围是。