Question

如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中AA₁=AD=1，E为CD中点．
（Ⅰ）求证：B₁E⊥AD₁；
（Ⅱ）在棱AA₁上是否存在一点P，使得DP∥平面B₁AE？若存在，求AP的长；若不存在，说明理由．
（Ⅲ）若二面角A-B₁E-A₁的大小为30°，求AB的长．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由题意及所给的图形，可以A为原点，，，的方向为X轴，Y轴，Z轴的正方向建立空间直角坐标系，设AB=a，给出图形中各点的坐标，可求出向量与的坐标，验证其数量积为0即可证出两线段垂直．
（II）由题意，可先假设在棱AA₁上存在一点P（0，0，t），使得DP∥平面B₁AE，求出平面B₁AE法向量，可法向量与直线DP的方向向量内积为0，由此方程解出t的值，若能解出，则说明存在，若不存在符合条件的t的值，说明不存在这样的点P满足题意．
（III）由题设条件，可求面夹二面角的两个平面的法向量，利用两平面的夹角为30°建立关于a的方程，解出a的值即可得出AB的长
解答：解：（I）以A为原点，，，的方向为X轴，Y轴，Z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图，
设AB=a，则A（0，0，0），D（0，1，0），D₁（0，1，1），E（，1，0），B₁（a，0，1）
故=（0，1，1），=（-，1，-1），=（a，0，1），=（，1，0），
∵•=1-1=0
∴B₁E⊥AD₁；
（II）假设在棱AA₁上存在一点P（0，0，t），使得DP∥平面B₁AE．此时=（0，-1，t）．
又设平面B₁AE的法向量=（x，y，z）．
∵⊥平面B₁AE，∴⊥B₁A，⊥AE，得，取x=1，得平面B₁AE的一个法向量=（1，-，-a）．
要使DP∥平面B₁AE，只要⊥，即有•=0，有此得-at=0，解得t=，即P（0，0，），
又DP?平面B₁AE，
∴存在点P，满足DP∥平面B₁AE，此时AP=
（III）连接A₁D，B₁C，由长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁及AA₁=AD=1，得AD₁⊥A₁D．
∵B₁C∥A₁D，∴AD₁⊥B₁C．
由（I）知，B₁E⊥AD₁，且B₁C∩B₁E=B₁．
∴AD₁⊥平面DCB₁A₁，
∴AD₁是平面B₁A₁E的一个法向量，此时=（0，1，1）．
设与所成的角为θ，则cosθ==
∵二面角A-B₁E-A₁的大小为30°，
∴|cosθ|=cos30°=即=，解得a=2，即AB的长为2
点评：本题考查利用空间向量这一工具求二面角，证明线面平行及线线垂直，解题的关键是建立恰当的坐标系及空间位置关系与向量的对应，此类解题，方法简单思维量小，但计算量大，易因为计算错误导致解题失败，解题时要严谨，认真，利用空间向量求解立体几何题是近几年高考的热点，必考内容，学习时要好好把握