Question

已知数列{a_n}的前n项和为Sn，a1=1，an+1=3Sn(n∈N*)．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若b_n=log₄a_n，求b₁+b₂+…+b_n的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ） 由a_n+1=3S_n得a_n+2=3S_n+1，推出a_n+2-a_n+1=3a_n+1，说明数列{a_n}从第二项起是等比数列，然后求出数列的通项公式；
（Ⅱ）利用（Ⅰ）数列的通项公式，求出b_n=log₄a_n，通过b₁+b₂+…+b_n分组求和，求出数列的前n项和．

解答：解：（Ⅰ） 由a_n+1=3S_n得a_n+2=3S_n+1，相减得 a_n+2-a_n+1=3a_n+1，
∴

an+2

an+1

=4（n∈N^*），
∴数列a₂，a₃，a₄，…，a_n，…是以4为公比的等比数列．
其中，a₂=3S₁=3a₁=3，
∴an=

1 ，       n=1 3×4n-2  ，n≥2 ，n∈N

…（5分）
（2）bn=

0，(n=1) log43+(n-2)，(n≥2)

∴n=1，b1=

(1-1)2

2

=0，
n≥2，b_n=log₄3+（n-2），
b₁+b₂+…+b_n
=0+（log₄3+0）+（log₄3+1）+…+（log₄3+（n-2））
=（n-1）

log

3 4

+

(n-2)(n-1)

2

．

点评：本题考查数列通项公式的求法，数列求和的基本方法，注意数列的判定方法，n=1的验证，容易疏忽，易错点．