Question

下列四个命题：
①若0＞a＞b，则；
②x＞0，的最小值为3；
③椭圆比椭圆更接近于圆；
④设A，B为平面内两个定点，若有|PA|+|PB|=2，则动点P的轨迹是椭圆；
其中真命题的序号为    ．（写出所有真命题的序号）

Answer 1

【答案】分析：由不等式的基本性质，可证出①是真命题；由基本不等式求最值，可得当且仅当x=2时最小值为3，得②是真命题；由两个椭圆离心率大小比较，可得③是真命题；由椭圆的定义可得④的轨迹不一定是椭圆，得到④是假命题．
解答：解：对于①，因为b＜a＜0，两边都除以ab，得
所以①是真命题；
对于②，因为x＞0，=（x-1）++1≥2+1=3
当且仅当x=2时，的最小值为3，所以②是真命题；
对于③，因为椭圆的离心率e₁=
椭圆的离心率e₂=，且＜，
所以椭圆比椭圆更接近于圆，③是真命题；
对于④，|PA|+|PB|=2，在|AB|＜2的情况下，P的轨迹才是椭圆
题设中没有|AB|＜2，故④是假命题
故答案为：①②③
点评：本题以命题真假的判断为载体，考查了不等式的基本性质、基本不等式求最值、椭圆的定义与简单几何性质等知识，属于中档题．