Question

已知曲线C₁：y=

x2

e

+e（e为自然对数的底数），曲线C₂：y=2elnx和直线l：y=2x．
（1）求证：直线l与曲线C₁，C₂都相切，且切于同一点；
（2）设直线x=t（t＞0）与曲线C₁，C₂及直线l分别相交于M，N，P，记f（t）=|PM|-|NP|，求f（t）在[e^-3，e³]上的最大值；
（3）设直线x=e^m（m=0，1，2，3┅┅）与曲线C₁和C₂的交点分别为A_m和B_m，问是否存在正整数n，使得A₀B₀=A_nB_n？若存在，求出n；若不存在，请说明理由． （本小题参考数据e≈2.7）．

Answer 1

（1）证明：y=

x2

e

+ey′=

2x

e

由y′=

2x

e

=2得x=e（2分）
在C₁上点（e，2e）处的切线为y-2e=2（x-e），即y=2x（3分）
又在C₂上点（e，2e）处切线可计算得y-2e=2（x-e），即y=2x
∴直线l与C₁、C₂都相切，且切于同一点（e，2e）（4分）
（2）f(t)=

t2

e

+e-2t-(2t-2elnt)=

t2

e

+2elnt-4t+ef′(t)=

2t

e

+2e

1

t

-4=

2t2+2e2-4et

et

=

2(t-e)2

et

≥0（6分）
∴f（t）在[e^-3，e³]上递增
∴当t=e³时f(t)max=

e6

e

+2elne3-4e3+e=e5-4e3+7e（8分）
（3）AnBn=

(en)2

e

+e-2elnen=

(e2)n

e

+e-2ne
设上式为g（n），假设n取正实数，则g′(n)=

(e2)n

e

•lne2-2e=

2(e2n-e2)

e

当n∈（0，1）时，g′（n）＜0，∴g（n）递减；
当n∈（1，+∞），g′（n）＞0，∴g（n）递增．（12分）
g(0)=A0B0=e+

1

e

g（1）=2e-2e=0g(2)=e3+e-4e=e3-3e≈2.72e-3e＞2e＞e+

1

e

∴不存在正整数n，使得g（m）=g（0）
即A_nB_n=A₀B₀．（14分）