Question

已知平面向量a=(,)，b=()．若存在不为零的实数m，使得c=a+2xb，d=-ya+(m-2x²)b，且c⊥d．

    (Ⅰ)试求函数y=f(x)的表达式；

    (Ⅱ)若m∈0(0，+∞)，当f(x)在区间[0，1]上的最大值为12时，求此时m的值．

Answer 1

答案：解：(Ⅰ)∵a·b==0，∴a⊥b．

∵c⊥d，∴c·d=0，又知a²=1，b²=1． 

∴c·d=(a+2xb)·[-ya+(m-2x²)b]=-y·a²+2x(m-2x²)·b²-2xya·b+(m-2x²)a·b

=-y+2x(m-2x²)=0．

∴y=2mx-4x³，故f(x)=2mx-4x³．

(Ⅱ)f(x)=2mx-4x³，则f′(x)=2m-12x²，其中m＞0，

由f′(x)=2m-12x²=0，解得x=.

当0≤x＜时，f′(x)＞0，f(x)在[0，]上单调递增；

当x＞时，f′(x)＜0，f(x)在(，+∞)上单调递减． 

①若≥1，即m≥6，则f(x)在[0，1]上单调递增，此时f(x)在区间[0，1]上的最大值f(x)_max=f(1)=2m-4=12，解得m=8满足条件.

②若＜1，即0＜m＜6，则f(x)在[0，]上单调递增，在(，1)上单调递减，则f(x)在区间[0，1]上的最大值f(x)_max=f()=2·m-4()³=12，解得m³=486，m=3＞6，不满足0＜m＜6，舍去．

综上所述，存在常数m=8，使函数f(x)在区间[0，1]上的最大值为12．