题目内容

x2 | 16 |
(1)求圆G的半径r;
(2)过点M(0,1)作圆G的两条切线交椭圆于E,F两点,证明:直线EF与圆G相切.
分析:(1)可取BC⊥X轴时来研究,则可设B(2+r,y0),过圆心G作GD⊥AB于D,BC交长轴于H由
=
即y0=
,再由点B(2+r,y0)在椭圆上,建立关于r的方程求解.
(2)设过点M(0,1)与圆相切的直线方程为:y-1=kx,由圆心到直线的距离等于半径求k1=
,k2=
,与椭圆方程联立,表示出E,F和坐标,从而得到EF所在的直线的方程,再探讨圆心到直线的距离和半径的关系.
GD |
AD |
HB |
AH |
r
| ||
|
(2)设过点M(0,1)与圆相切的直线方程为:y-1=kx,由圆心到直线的距离等于半径求k1=
-9+
| ||
16 |
-9-
| ||
16 |
解答:解:(1)设B(2+r,y0),过圆心G作GD⊥AB于D,BC交长轴于H
由
=
得
=
,
即y0=
(1)
而点B(2+r,y0)在椭圆上,y02=1-
=
=-
(2)
由(1)、(2)式得15r2+8r-12=0,
解得r=
或r=-
(舍去)
(2)设过点M(0,1)与圆(x-2)2+y2=
相切的直线方程为:y-1=kx(3)
则
=
,即32k2+36k+5=0(4)
解得k1=
,k2=
将(3)代入
+y2=1得(16k2+1)x2+32kx=0,
则异于零的解为x=-
设F(x1,k1x1+1),E(x2,k2x2+1),
则x1=-
,x2=-
则直线FE的斜率为:kEF=
=
=
于是直线FE的方程为:y+
-1=
(x+
)
即y=
x-
则圆心(2,0)到直线FE的距离d=
=
故结论成立.
由
GD |
AD |
HB |
AH |
r | ||
|
y0 |
6+r |
即y0=
r
| ||
|
而点B(2+r,y0)在椭圆上,y02=1-
(2+r)2 |
16 |
12-4r-r2 |
16 |
(r-2)(r+6) |
16 |
由(1)、(2)式得15r2+8r-12=0,
解得r=
2 |
3 |
6 |
5 |
(2)设过点M(0,1)与圆(x-2)2+y2=
4 |
9 |
则
2 |
3 |
|2k+1| | ||
|
解得k1=
-9+
| ||
16 |
-9-
| ||
16 |
将(3)代入
x2 |
16 |
则异于零的解为x=-
32k |
16k2+1 |
设F(x1,k1x1+1),E(x2,k2x2+1),
则x1=-
32k1 |
16k12+1 |
32k2 |
16k22+1 |
则直线FE的斜率为:kEF=
k2x2-k1x1 |
x2-x1 |
k1+k2 |
1-16k1k2 |
3 |
4 |
于是直线FE的方程为:y+
32k12 |
16k12+1 |
3 |
4 |
32k1 |
16k12+1 |
即y=
3 |
4 |
7 |
3 |
则圆心(2,0)到直线FE的距离d=
|
| ||||
|
2 |
3 |
故结论成立.
点评:本题主要是通过圆和椭圆来考查直线和圆,直线和椭圆的位置关系.

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