Question

【题目】已知函数，其导函数的最大值为.

（1）求实数的值；

（2）若，证明：.

Answer 1

【答案】（1）；（2）见解析

【解析】

（1）先对求导，然后根据导数形式对进行分类讨论，通过导函数最大值为0，求得的值.

（2）要证，则需证，再利用的单调性，证，利用条件把换掉，构造函数

证明，对求导，研究其单调性和极值，得到结论.

（1）由题意，函数的定义域为，其导函数

记则.

当时，恒成立，所以在上单调递增，且.

所以，有，故时不成立；

当时，若，则；若，则.

所以在单调递增，在单调递减。

所以.

令，则.

当时，；当时，.所以在的单减，在单增.

所以，故.

（2）当时，，则.

由（1）知恒成立，

所以在上单调递减，

且，

不妨设，则，

欲证，只需证，因为在上单调递减，

则只需证，又因为，

则只需证，即.

令（其中），且.

所以欲证，只需证，

由，

整理得：，

，

所以在区间上单调递增，

所以，，

所以函数在区间上单调递减，

所以有，，故.