Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，且an+1+

2

3

Sn=1（n≥1）
（1）求出数列{a_n}的通项公式；
（2）若b_n=2S_n-1+b_n-1（n≥2），b₁=1，求{b_n}的通项公式．

Answer 1

分析：（1）由3a_n+2S_n=3，可得当n≥2时，3a_n-1+2S_n-1=3，两式相减可得得3a_n+1-3a_n+2a_n=0，整理可得数列{a_n}是等比数列，从而可求．
（2）由b_n-b_n-1=2S_n-1（n≥2）叠加可得b_n-b₁=2（S_n-1+…+S₁），由（Ⅰ）知Sn=

3

2

(1-

1

3n

)，代入可求．

解答：解：（1）∵n≥1，3a_n+2S_n=3，①
当n≥2时，3a_n-1+2S_n-1=3．②
由①-②，得3a_n+1-3a_n+2a_n=0
∴

an+1

an

=

1

3

，n≥2．
又∵a₁=1，3a₂+2a₁=3，解得 a2=

1

3

．
∴数列{a_n}是首项为1，公比为q=

1

3

的等比数列．
∴an=(

1

3

)n-1（n为正整数）
（2）由b_n-b_n-1=2S_n-1（n≥2）叠加可得b_n-b₁=2（S_n-1+…+S₁）
由（Ⅰ）知Sn=

3

2

(1-

1

3n

)，2(Sn-1+…+S1)=3(n-1)-

3

2

(1-

1

3n-1

)
故bn=3n-

7

2

+

1

2×3n-2

n≥1

点评：本题主要考查了由数列的递推公式求解数列的通项公式，等比数列的证明及叠加求解数列的通项公式，属于数列知识的综合应用．