Question

已知tan(α+β)=

1

2

，tan(α-

π

4

)=-

1

3

，则以下结论中，正确的有

①②

（填入所有正确结论的编号）．
①tan(β+

π

4

)=1；    ②β=kπ（k∈Z）；    ③α=arctan

1

2

．

Answer 1

分析：直接根据两角差的正切公式即可判断出①成立，再根据①成立可得结论②成立，最后把②代入tan(α+β)=

1

2

，根据终边相同的角对应的三角函数值相等可以判断出③不成立．

解答：解：∵tan（β+

π

4

）=tan[（α+β）-（α-

π

4

）]
=

tan(α+β)-tan(α+ π 4 )

1+tan(α+β)tan(α+ π 4 )

=

1 2 - (- 1 3 )

1+ 1 2 ×(- 1 3 )

=1．即①成立；
∴由tan(β+

π

4

)=1得：β+

π

4

=kπ+

π

4

⇒β=kπ，k∈Z．即②成立；
∴tan（α+β）=tan（α+kπ）=tanα=

1

2

⇒α=kπ+arctan

1

2

．即③不成立．
所以，只有①②为正确结论．
故答案为：①②．

点评：本题主要考查两角差的正切公式的应用以及终边相同的角对应的三角函数值相等这一结论的应用．解决问题的关键在于由已知条件得到①成立．