题目内容

已知函数f（x）=x²-ax-aln（x-1）（a∈R）
（1）当a=1时，求函数f（x）的最值；
（2）求函数f（x）的单调区间；
（3）试说明是否存在实数a（a≥1）使y=f（x）的图象与 $数学公式$ 无公共点．

解：（1）函数f（x）=x²-ax-aln（x-1）（a∈R）的定义域是（1，+∞）
当a=1时， $\text{[math]}$ ，所以f（x）在 $\text{[math]}$ 为减函数
在 $\text{[math]}$ 为增函数，所以函数f（x）的最小值为 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
（2） $\text{[math]}$ ，
若a≤0时，则 $\text{[math]}$ ，f（x）= $\text{[math]}$ ＞0在（1，+∞）恒成立，所以f（x）的增区间为（1，+∞）．
若a＞0，则 $\text{[math]}$ ，故当 $\text{[math]}$ ，f′（x）= $\text{[math]}$ ≤0，
当 $\text{[math]}$ 时，f（x）= $\text{[math]}$ ≥0，
所以a＞0时f（x）的减区间为 $\text{[math]}$ ，f（x）的增区间为 $\text{[math]}$

（3）a≥1时，由（2）知f（x）在（1，+∞）的最小值为 $\text{[math]}$ ，
令 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ 在[1，+∞）上单调递减，
所以 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ＞0，
因此存在实数a（a≥1）使f（x）的最小值大于 $\text{[math]}$ ，
故存在实数a（a≥1）使y=f（x）的图象与 $\text{[math]}$ 无公共点
分析：（1）先求出函数的定义域，再把a=1代入求出其导函数以及单调区间，即可求出函数f（x）的最值；
（2）先求出函数的导函数，再利用分类讨论思想讨论导函数对应方程根的大小，进而求出函数f（x）的单调区间；
（3）先由（2）得f（x）在（1，+∞）的最小值为 $\text{[math]}$ ，再求出 $\text{[math]}$ 在[1，+∞）上的最大值，让其与 $\text{[math]}$ 的值相比较即可求得结论．
点评：本题考查了利用导数求闭区间上函数的最值，利用导数研究函数的单调性和最值的应用．求函数在闭区间[a，b]上的最大值与最小值是通过比较函数在（a，b）内所有极值与端点函数f（a），f（b）比较而得到的．