Question

已知函数f（x）=ax³-x，其中a≤

1

3

．
（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；
（Ⅱ）求函数f（x）在[-1，1]上的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把a=1代入到f（x）中化简得到f（x）的解析式，求出f'（x），因为曲线的切点为（2，f（2）），所以把x=2代入到f'（x）中求出切线的斜率，把x=2代入到f（x）中求出f（2）的值得到切点坐标，根据切点和斜率写出切线方程即可；
（II）借助于导数，将三次函数“f（x）=ax³-x”的最值问题转化为二次函数进行研究．此题只须求出函数的导函数，利用导数求解．

解答：解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=x³-x，f（2）=6，f'（2）=11
所以，曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y-6=11（x-2），
即11x-y-16=0；   （6分）
（Ⅱ）f'（x）=3ax²-1．
当a≤0时，f'（x）=3ax²-1＜0，y=f（x）在[-1，1]单调递减，∴f（x）_max=f（-1）=-a+1；
当0＜a≤

1

3

时，令f'（x）=0，解得x1=-

1

3a

，x2=

1

3a

．
因为0＜a≤

1

3

，所以x2=

1

3a

＞1且x1=-

1

3a

＜-1，
又当-1＜x＜1时，f'（x）＜0，
故y=f（x）在[-1，1]单调递减，∴f（x）_max=f（-1）=-a+1；
综上，函数f（x）在[-1，1]上的最大值为-a+1．（14分）

点评：考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，会利用导数研究函数的单调性以及根据函数的增减性得到函数的极值．灵活运用分类讨论的数学思想解决数学问题．本题考查利用导数研究函数的极值，导数的引入，为研究高次函数的极值与最值带来了方便．