题目内容

对于定义域为D的函数y＝f(x)，如果存在区间[m，n]D，同时满足：

①f(x)在[m，n]内是单调函数；

②当定义域是[m，n]时，f(x)的值域也是[m，n]．

则称[m，n]是该函数的“和谐区间”．

(1)证明：[0，1]是函数y＝f(x)＝x2的一个“和谐区间”．

(2)求证：函数y＝g(x)＝3－不存在“和谐区间”．

(3)已知函数(a∈R，a≠0)有“和谐区间”[m，n]，当a变化时，求出n－m的最大值．

答案：
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对于定义域为D的函数y=f（x），如果存在区间[m，n]⊆D，同时满足：
①f（x）在[m，n]内是单调函数；
②当定义域是[m，n]时，f（x）的值域也是[m，n]．则称[m，n]是该函数的“和谐区间”．
（1）求证：函数y=g(x)=3-
5
x
不存在“和谐区间”．
（2）已知：函数y=
(a2+a)x-1
a2x
（a∈R，a≠0）有“和谐区间”[m，n]，当a变化时，求出n-m的最大值．
（3）易知，函数y=x是以任一区间[m，n]为它的“和谐区间”．试再举一例有“和谐区间”的函数，并写出它的一个“和谐区间”．（不需证明，但不能用本题已讨论过的y=x及形如y=
bx+c
ax
的函数为例）
对于定义域为D的函数f（x），若存在区间M=[a，b]⊆D（a＜b），使得{y|y=f（x），x∈M}=M，则称区间M为函数f（x）的“等值区间”．给出下列三个函数：
①f(x)=(
12
)x；   ②f（x）=x3；    ③f（x）=log2x+1
则存在“等值区间”的函数的个数是
2
2
．
对于定义域为D的函数y=f（x），若同时满足下列条件：①f（x）在D内单调递增或单调递减；②存在区间[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域为[a，b]；那么把y=f（x）（x∈D）叫闭函数．
（1）求闭函数y=-x3符合条件②的区间[a，b]；
（2）判断函数f（x）=
3
4
x+
1
x
（x＞0）是否为闭函数？并说明理由．
（2012•崇明县一模）定义：对于定义域为D的函数f（x），如果存在t∈D，使得f（t+1）=f（t）+f（1）成立，称函数f（x）在D上是“T”函数．已知下列函数：
①f（x）=
1x
；　
②f（x）=log2（x2+2）；
③f（x）=2x（x∈（0，+∞））；　
④f（x）=cosπx（x∈[0，1]），其中属于“T”函数的序号是
③
③
．（写出所有满足要求的函数的序号）
对于定义域为D的函数f（x），若同时满足下列条件：①f（x）在D内有单调性；②存在区间[a，b]⊆D，使f（x）在区间[a，b]上的值域也为[a，b]，则称f（x）为D上的“和谐”函数，[a，b]为函数f（x）的“和谐”区间．
（Ⅰ）求“和谐”函数y=x3符合条件的“和谐”区间；
（Ⅱ）判断函数f(x)=x+
4
x
(x＞0)是否为“和谐”函数？并说明理由．
（Ⅲ）若函数g(x)=
x+4
+m是“和谐”函数，求实数m的取值范围．

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