Question

如图，在△ABC中，AB=8，AC=3，∠BAC=60°，以点A为圆心，r=2为半径作一个圆，设PQ为圆A的一条直径．
（Ⅰ）请用

AP

，

AB

表示

BP

，用

AP

，

AC

表示

CQ

；
（Ⅱ）记∠BAP=θ，求

BP

•

CQ

的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用向量的三角形法则可得

BP

=

AP

-

AB

，

CQ

=-

AP

-

AC

（Ⅱ）由∠BAC=60°，∠BAP=θ，可得∠CAP=60°+θ，
利用向量的数量积的坐标表示可得

BP

•

CQ

=(

AP

-

AB

)(-

AP

-

AC

)=8-6cos（θ+60°）+16cosθ
=3

3

sinθ+13cosθ+8=14sin（θ+φ）+8，利用三角函数知识可求最值．

解答：解：（Ⅰ）

BP

=

AP

-

AB

，（2分）

CQ

=-

AP

-

AC

（4分）
（Ⅱ）∵∠BAC=60°，∠BAP=θ，
∴∠CAP=60°+θ，∵AB=8，AC=3，AP=2
∴

BP

•

CQ

=(

AP

-

AB

)(-

AP

-

AC

)=8-6cos（θ+60°）+16cosθ（10分）
=3

3

sinθ+13cosθ+8=14sin（θ+φ）+8（13分）
（其中sin?=

13

14

，cos?=

3

14

3

）
∴当sin（θ+φ）=1时，

BP

•

CQ

的最大值为22．（14分）

点评：三角函数与平面向量的综合是高考的热点考查内容，而辅助角公式是解决三角函数的最值的常用的方法，体现了转化的思想在解题中的应用．