题目内容

数列{a_n} 满足a₁=2， $数学公式$ （n∈N₊）．
（Ⅰ）设b_n= $数学公式$ ，求数列{b_n}的通项公式b_n；
（Ⅱ）设c_n= $数学公式$ ，数列{c_n}的前n项和为S_n，求证： $数学公式$ ．

解：（Ⅰ）∵ $\text{[math]}$ （n∈N₊），
∴ $\text{[math]}$ ，
∵b_n= $\text{[math]}$ ，a₁=2，
∴ $\text{[math]}$ ，
$\text{[math]}$ ，
$\text{[math]}$ ，
…
$\text{[math]}$ ，
∴b_n=b₁+（b₂-b₁）+（b₃-b₂）+…+（b_n-b_n-1）
=1+（1+ $\text{[math]}$ ）+（2+ $\text{[math]}$ ）+…+（n-1+ $\text{[math]}$ ）
=1+ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
（Ⅱ）∵ $\text{[math]}$ ，b_n= $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
∴c_n= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ ，
∵ $\text{[math]}$ 递减，
∴0＜ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，
即 $\text{[math]}$ ．
分析：（Ⅰ）由 $\text{[math]}$ （n∈N₊），知 $\text{[math]}$ ，由b_n= $\text{[math]}$ ，a₁=2，知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，…， $\text{[math]}$ ，由累加法能求出数列{b_n}的通项公式b_n．
（Ⅱ）由 $\text{[math]}$ ，b_n= $\text{[math]}$ ，知 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，故c_n= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，故S_n= $\text{[math]}$ ，由此能证明 $\text{[math]}$ ．
点评：本题考查数列、不等式知识，考查化归与转化、分类与整合的数学思想，综合性强，难度大，有一定的探索性，对数学思维能力要求较高，是高考的重点．解题时要注意培养学生的抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识．