Question

【题目】如图，在四棱锥中，底面为菱形，为的中点，.

（1）求证：平面；

（2）点在线段上，，试确定的值，使平面；

（3）若平面，平面平面，求二面角的大小.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析

（2）

（3）

【解析】

（1）由线面垂直的判定定理，分别证明，即可；

（2）利用平面，可得,再利用比例关系即可得解；

（3）先建立空间直角坐标系，再分别求出平面和平面的一个法向量，再结合向量的夹角公式求解即可.

解：（1）由底面为菱形，为的中点，则,

又，则，

又,

由线面垂直的判定定理可得平面；

（2）当时，平面，

证明如下：连接交于,连接，

因为,所以，

因为平面，平面，

平面平面，

所以,

所以,

所以,

故；

（3）因为,平面平面，交线为，则平面，

建立如图所示的看见直角坐标系，

由，则有,

设平面的一个法向量为，

由,且, ,

可得，取，则，

取平面的一个法向量为，

则，

故二面角的大小为.