Question

写出求方程ax²+bx+c=0的根的算法,画出相应的程序框图,并要求输出它的实根.

Answer 1

思路分析:主要考查含参问题的讨论方法及条件嵌套结构的应用.输入三个实数a,b,c,先判断a是否为零,当a≠0时,是一元二次方程,则通过判断判别式来求实根.当a=0,b≠0时,不是一元二次方程,可用一元一次方程的解法来解.

解:当a≠0时,令Δ=b²-4ac,当Δ＜0时,方程无实数根;

当Δ≥0时,方程有两个实数根x₁=,x₂=.

当a=0时,再考虑b:若b≠0,则方程的根为x=;

当b=0时,再考虑c:当c≠0时,方程无根;

当c=0时,方程的解是全体实数.

算法步骤如下:

第一步,输入a,b,c.

第二步,如果a≠0,执行第三步,如果a=0,执行第七步.

第三步,Δ=b²-4ac.

第四步,如果Δ＜0,输出“方程无实数根”,如果Δ≥0,执行第五步.

第五步,x₁=,x₂=.

第六步,输出x₁,x₂.第七步,如果b≠0,执行第八步,如果b=0,执行第十步.

第八步,x=.第九步,输出x.

第十步,如果c≠0,输出“方程无实根”;

如果c=0,输出“方程的根为全体实数”.

该算法的程序框图如图1-1-14所示:

                                       图1-1-14

    巧妙变式:形如ax²+bx+c=0的方程的求解问题要先定a,分a=0和a≠0两种情况讨论,a≠0要分Δ≥0与Δ＜0两种情况讨论,a=0要分b=0和b≠0两种情况讨论,当b=0时再分c=0和c≠0两种情况讨论,一定要做到不重不漏,可按下图来记忆:

共五种情况,因而程序框图中有五个输出框.

变式:写出解方程x²-2x-3=0的一个算法.

算法一:

1.将方程左边因式分解,得(x-3)(x+1)=0;①

2.由①得x-3=0,②

或x+1=0;③

3.解②得x=3,解③得x=-1.

算法二:

1.移项,得x²-2x=3;①

2.①式两边同加1并配方,得(x-1)²=4;②

3.②式两边开方,得x-1=±2;③

4.解③式得x=3或x=-1.

算法三:

1.计算方程的判别式并判断其符号Δ=2²+4×3=16＞0;

2.将a=1,b=-2,c=-3,代入求根公式,得x₁,2=,得x₁=3,x₂=-1.

评析:本例是给ax²+bx+c=0中的a,b,c分别赋予数值1,-2,-3.比较三种算法,算法三更简单,步骤最少,由此我们只要有公式可以利用,利用公式解决问题是最理想、合算的算法.因此在寻求算法的过程中,首先是利用公式.