Question

设f(x)＝|lgx|，a、b是满足f(a)＝f(b)＝2f()的实数，其中0＜a＜b．

求证：(1)a＜1＜b；

(2)2＜4b－b²＜3．

Answer 1

答案：
解析：

证明：(1)∵f(a)＝f(b)，∴|lga|＝|lgb|． 　　∴lg2a＝lg2b．∴(lga＋lgb)(lga－lgb)＝0， 　　即lgab·lg＝0． 　　∵0＜a＜b，∴0＜＜1．∴lg≠0． 　　∴lgab＝0．∴ab＝1．∵0＜a＜b，∴a＜1＜b． 　　(2)∵，∴． 　　∵，b＞1， 　　∴．∴． 　　∴4b＝a2＋b2＋2ab＝a2＋b2＋2．∴4b－b2＝a2＋2． 　　∵0＜a＜1，∴2＜a2＋2＜3．∴2＜4b－b2＜3． 　　思路分析：(1)可由已知条件得出lgab·lg＝0，因为0＜a＜b，可判断0＜＜1．进一步即可得出结论．(2)由已知条件易得出．进一步结合已知条件、(1)的结论及重要不等式可证．