Question

如图，在正四棱柱ABCD—A₁B₁C₁D₁中，AB=1，BB₁=+1，E为BB₁上使B₁E=1的点，平面AEG交DD₁于F，交A₁D₁的延长线于G，求

（1）异面直线AD与C₁G所成角的大小；

（2）二面角AC₁GA₁的正切值.

Answer 1

解：（1）由AD∥D₁G，知∠C₁GD₁为异面直线AD与C₁G所成的角.如右图所示，连结C₁F，因为AE和C₁F分别是平行平面ABB₁A₁和CC₁D₁D与平面AEC₁G的交线，所以AE∥C₁F.由此可得D₁F=BE=.

再由△FD₁G∽△FDA,得D₁G=.

在Rt△C₁D₁G中，由C₁D₁=1，D₁G=，得∠C₁GD₁=.

(2)如图所示，作D₁H⊥C₁G于H，连结FH，由三垂线定理，知FH⊥C₁G，故∠D₁HF为二面角FC₁GD₁，即二面角AC₁GA₁的平面角.

在Rt△GHD₁中，由D₁G=，∠D₁GH=,得D₁H=,从而tan∠D₁HF=