Question

【题目】设椭圆的方程为（），点为坐标原点，点， 的坐标分别为， ，点在线段上，满足，直线的斜率为．

（1）求椭圆的方程；

（2）若斜率为的直线交椭圆于， 两点，交轴于点（），问是否存在实数使得以为直径的圆恒过点？若存在，求的值，若不存在，说出理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】试题分析：（1）设点的坐标，由及直线的斜率为，即可求得，从而求出椭圆的方程；（2）设直线方程： ，联立椭圆方程，消去，得关于的一元二次方程，设， ，结合韦达定理，可得与，假设存在实数使得以为直径的圆恒过点，则，由，即可求出的值.

试题解析：（1）设点的坐标， ， ，

， ，

∴

∴椭圆的方程．

（2）设直线方程： ，代入，得，

设， ，则， ，

假设存在实数使得以为直径的圆恒过点，则．

∴， ， ，

即，得，

整理得

∴（∵），当时，符合题意