Question

（2007•武汉模拟）已知双曲线y²-x²=1，过上焦点F₂的直线与下支交于A、B两点，且线段AF₂、BF₂的长度分别为m、n．
（1）证明mn≥1；
（2）若m＞n，当直线AB的斜率k∈[

1

3

，

5

5

]时，求

m

n

的取值范围．

Answer 1

分析：（1）双曲线焦点为(0，

2

)．设直线AB的方程为y=kx+

2

，A(x1，y1)，B(x2，y2)．k=0时，mn=1．当k≠0时，将y=kx+

2

代入双曲线方程，消去x得(1-k2)y2-2

2

y+k2+2=0．由

1-k2≠0 y1+y2= 2 2 1-k2 ＞0，得k2＜1. y1•y2= k2+2 1-k2 ＞0

由双曲线的第二定义，知m=-1+

2

y1，n=-1+

2

y2，mn＞1．由此可知知mn≥1．
（2）设直线AB的方程为y=kx+

2

，代入双曲线方程，得(k2-1)x2+2

2

kx+1=0．由韦达定理知x1+x2=-

2 2 k

k2-1

，x1•x2=-

1

k2-1

．令

m

n

=λ，则λ＞1，所以

n

m

=

x2

-x1

，即x1=-λx2．
(1-λ)x2=

2 2 k

1-k2

，-λ

x

2 2

=

1

k2-1

．消去x2，得

(1-λ)2

λ

=

8k2

1-k2

，由此能求出

m

n

的取值范围．

解答：解：（1）由题设知双曲线上焦点为(0，

2

)．
设直线AB的方程为y=kx+

2

，A(x1，y1)，B(x2，y2)．
当k=0时，A、B两点的横坐标分别为1和-1，
此时mn=1．
当k≠0时，将y=kx+

2

代入双曲线方程，消去x得(1-k2)y2-2

2

y+k2+2=0．（2分）由

1-k2≠0 y1+y2= 2 2 1-k2 ＞0，得k2＜1. y1•y2= k2+2 1-k2 ＞0

（4分）
由双曲线的第二定义，知m=-1+

2

y1，n=-1+

2

y2（8分）
∴mn=1+2y1y2-

2

(y1+y2)=

1+k2

1-k2

=1+

2

1 k2 -1

＞1．
综上，知mn≥1．（10分）
（2）设直线AB的方程为y=kx+

2

，代入双曲线方程，消去y并整理得(k2-1)x2+2

2

kx+1=0．
∴x1+x2=-

2 2 k

k2-1

，x1•x2=-

1

k2-1

．（8分）
令

m

n

=λ，则λ＞1，
∴

n

m

=

x2

-x1

，即x1=-λx2．
∴(1-λ)x2=

2 2 k

1-k2

，①
-λ

x

2 2

=

1

k2-1

．②
由①②，消去x2，得

(1-λ)2

λ

=

8k2

1-k2

，
即λ+

1

λ

=

8

1-k2

-6③（12分）
由k2∈[

1

9

，

1

5

]，得λ+

1

λ

∈[3，4]，而λ＞0，
∴

λ2-3λ+1≥0 λ2-4λ+1≤0

，解之得

3+ 5

2

≤λ≤2+

3

，即为所求．（14分）

点评：本题考查直线秘圆锥曲线的综合运用，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．